Question

【题目】

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（I）（II）存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.

【解析】

试题（1）利用直接法设，利用直线与的斜率之积等于，得到关于的方程，求得其轨迹方程；（2）根据题意设，点的坐标分别为三个点的坐标，再利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，求得和的面积，利用，进而得到关于的方程，求得点的坐标为．

试题解析：（1）点的轨迹方程为； 5分

（2）设点的坐标为，点的坐标分别为，

则直线的方程为，

直线的方程为．

令，得，

于是的面积， 8分

直线的方程为，，

点到直线的距离，

于是的面积， 10分

当时，得，

又，所以，解得，

因为，所以，

故存在点使得与的面积相等，

此时点的坐标为． 12分