Question

（本题满分12分）
已知集合A={a，b，c}，其中a，b，c是三个连续的自然数。如果a，b，c能够作为一个三角形的三边长，且该三角形的最大角是最小角的2倍，求所有满足条件的集合A。

Answer 1

A=｛4,5,6｝  

解法一：依题意，不妨设，对应的三个内角是
由正弦定理，       …………………………4分
所以              …………………………6分
由余弦定理， ……………8分
即 化简，得：             
所以，不合题意，舍去。
，三角形的三边长为4,5,6.            …………………………10分
可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍。 …………………………11分
故：A=｛4,5,6｝                          …………………………12分
解法二：先考虑三角形应满足的第一个性质：三边是连续的自然数
⑴三边长不可能是1,2,3，因为1+2=3而三角形的任何两边之和都大于第三边；
…………………………1分
⑵如果三角形ABC的三边长分别是a=2，b=3，c=4
因为，

此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是所以2A≠C从而三边
长分别是a=2，b=3，c=4不符合条件。          …………………………3分
⑶如果三角形ABC的三边长分别是a=3，b=4，c=5，此三角形是直角三角形，最大角是90⁰，最小角不等于45⁰，此三角形不满足条件。 …………………………5分
⑷如果三角形ABC的三边长分别是a=4，b=5，c=6，此时
，，

因为，所以2A=C
故三边长分别是a=4，b=5，c=6满足条件。    …………………………8分
⑸当n>4时，三角形ABC的三边长分别是a=n，b=n+1，c=n+2时，三角形的最小角是A，最大角是C，


随n的增大而减小，A随之增大，随n的增大而增大，C随之减小。由于n=4时有2A=C，所以n>4时不可能有2A=C。     …………………………11分
总上可知，只有边长分别为4,5,6的三角形满足条件，即A=｛4,5,6｝ …………12分