Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点，
（1）求证：FH∥平面EDB；
（2）求证：AC⊥平面EDB；
（3）求四面体B-DEF的体积．

Answer 1

分析：（1）设AC与BD交于G，则G为AC的中点．连接EG，GH，通过证明四边形EFGH是平行四边形，证明FH∥平面EDB；
（2）通过证明AC⊥EG，AC⊥BD，EG∩BD=G，满足直线与平面垂直的判定定理，即可证明AC⊥平面EDB；
（3）求出四面体B-DEF的高与底面面积，即可求解四面体的体积．

解答：解：（1）证明：设AC与BD交于G，则G为AC的中点．连接EG，GH，
由于H为BC的中点，故GH

∥

.

1

2

AB，又EF

∥

.

1

2

AB，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴FH∥平面EDB；
（2）证明：由四边形ABCD是正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，
∴EF⊥BC，而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，
∴EF⊥FH，∴AB⊥FH，
又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC，
∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC，又FH∥EG，∴AC⊥EG，
又AC⊥BD，EG∩BD=G
∴AC⊥平面EDB；
（3）解：∵EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，
∴BF为四面体B-DEF的高，
又BC=AB=2，∴BF=FC=

2

四面体B-DEF的体积．V_B-DEF=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

2

=

1

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理，几何体的体积的求法，考查计算能力．