Question

3．已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，{b_n}是等比数列，且b₁=a₁=3，b₂=a₃，b₃=a₉．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${c_n}={log_3}b_n^5-32$，求数列{|c_n|}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，等比数列{b_n}的公比为q，由b₁=a₁=3，b₂=a₃，b₃=a₉．可得$\left\{\begin{array}{l}{3q=3+2d}\\{3{q}^{2}=3+8d}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）${c_n}={log_3}b_n^5-32$=5n-32，设数列{c_n}的前n项和为T_n，则T_n=$\frac{n（5n-59）}{2}$．|c_n|=$\left\{\begin{array}{l}{32-5n，n≤6}\\{5n-32，n≥7}\end{array}\right.$．当n≤6时，S_n=-T_n．当n≥7时，S_n=T_n-2T₆．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，等比数列{b_n}的公比为q，
∵b₁=a₁=3，b₂=a₃，b₃=a₉．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3q=3+2d}\\{3{q}^{2}=3+8d}\end{array}\right.$，解得d=3，q=3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3ⁿ．
（II）${c_n}={log_3}b_n^5-32$=5n-32，
设数列{c_n}的前n项和为T_n，则T_n=$\frac{n（-27+5n-32）}{2}$=$\frac{n（5n-59）}{2}$．
令c_n≥0，解得n≥7．
∴|c_n|=$\left\{\begin{array}{l}{32-5n，n≤6}\\{5n-32，n≥7}\end{array}\right.$．
∴当n≤6时，S_n=-（a₁+a₂+…+a_n）=-T_n=$\frac{n（59-5n）}{2}$．
当n≥7时，S_n=-T₆+a₇+a₈+…+a_n=T_n-2T₆=$\frac{n（5n-59）}{2}$+174．
∴数列{|c_n|}的前n项的和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（59-5n）}{2}，n≤6}\\{\frac{n（5n-59）}{2}+174，n≥7}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．