Question

已知：

a

=（2cosx，sinx），

b

=（

3

cosx，2cosx），设函数f（x）=

a

•

b

-

3

（x∈R）
求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的最大值以及取得最大值时x的值；
（3）f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式：f（x）=2sin（2x+

π

3

），然后，利用周期公式进行求解；
（2）直接根据正弦函数的最值进行求解；
（3）直接根据正弦函数的单调性进行求解即可；

解答： 解：∵

a

=（2cosx，sinx），

b

=（

3

cosx，2cosx），
∴函数f（x）=

a

•

b

-

3

（x∈R）
=2

3

cos²x+2sinxcosx-

3

=sin2x+

3

（2cos²x-1）
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
（1）∵T=

2π

2

=π，
∴f（x）的最小正周期π；
（2）∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴当sin（2x+

π

3

）=1时，函数有最大值2，
此时，2x+

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴x=

π

12

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的最大值为2，取得最大值时x值为x=

π

12

+kπ，k∈Z，
（3）∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
∴f（x）的单调递增区间[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，（k∈Z）．

点评：本题综合考查了二倍角公式、三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．