Question

已知命题：p：函数f(x)=(

1

2

)x-log

1

3

x在区间(0，

1

3

)内存在零点，命题q：存在负数x使得(

1

2

)x＞(

1

3

)x，给出下列四个命题①p或q；②p且q；③p的否定；④q的否定，真命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：在区间(0，

1

3

)内，(

1

2

)x＜(

1

2

)0=1；在区间(0，

1

3

)内，log

1

3

x＞log

1

3

1

3

=1．所以在区间(0，

1

3

)内，函数f(x)=(

1

2

)x-log

1

3

x＜0，即不存在零点，而由y=(

1

2

)x与y=(

1

3

)x的图象可知，当x＜0时，总有(

1

2

)x＜(

1

3

)x．因此p、q均为假命题，最后根据复合命题的真假表即可作出判断．

解答：解：因为函数y=(

1

2

)x在区间(0，

1

3

)上为减函数，所以(

1

2

)x＜1；
又因为函数y=log

1

3

x在区间(0，

1

3

)上也为减函数，所以log

1

3

x＞1．
因此函数f(x)=(

1

2

)x-log

1

3

x在区间(0，

1

3

)内恒小于零，即不存在零点，所以命题p是假命题．
当x＜0时，总有(

1

2

)x＜(

1

3

)x，所以命题q是假命题．
由此可知①②是假命题，③④是真命题．
故选B．

点评：本题考查复合命题的真假情况，同时考查指数函数与对数函数的图象、单调性、特殊点等．