Question

已知△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，且bcosC=（2a-c）cosB，则y=cos²A+cos²C的最小值为

1

2

．

Answer 1

分析：△ABC中，由正弦定理可求得cosB=

1

2

，从而求得 B=

π

3

，A+C=

2π

3

．利用两角和差的正弦公式，二倍角公式化简 y=cos²A+cos²C=1-

1

2

sin（2A-

π

6

），再由
-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，求得-

1

2

＜sin（2A-

π

6

）≤1，由此可得y的最小值．

解答：解：△ABC中，由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，即sin（B+C）=2sinAcosB．
因为0＜A＜π，所以sinA≠0，∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

，A+C=

2π

3

．
∴2A+2C=

4π

3

，则y=cos²A+cos²C=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=

1+cos2A

2

+

1+cos( 4π 3 -2A)

2

=1+

1

2

[

1

2

cos2A-

3

2

sin2A]
=1-

1

2

sin（2A-

π

6

）．
∵0＜2A＜

4π

3

，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，则-

1

2

＜sin（2A-

π

6

）≤1，
故y=cos²A+cos²C的最小值为 1-

1

2

=

1

2

，
故答案为

1

2

．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，两角和差的正弦公式，二倍角公式以及诱导公式的应用，属于中档题．