Question

已知点A的坐标为（0，2），点B是椭圆x²+6y²=6上的动点，则|AB|的最大值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值,椭圆的参数方程

专题：三角函数的求值

分析：由椭圆的参数方程（或三角代换）可得x=

6

cosθ，y=sinθ，进而可得|AB|²=-5sin²θ-4sinθ+10，令sinθ=t，则t∈[-1，1]，由二次函数区间的最值可得|AB|²取最大值，开方可得|AB|取最大值．

解答： 解：化椭圆x²+6y²=6为标准方程可得

x2

6

+y2=1，
由椭圆的参数方程可得x=

6

cosθ，y=sinθ，
∴|AB|²=（

6

cosθ-0）²+（sinθ-2）²
=6cos²θ+sin²θ-4sinθ+4
=6（1-sin²θ）+sin²θ-4sinθ+4
=-5sin²θ-4sinθ+10，
令sinθ=t，则t∈[-1，1]，
∴|AB|²=-5t²-4t+10的图象为开口向下的抛物线，对称轴为t=-

2

5

，
∴|AB|²=-5t²-4t+10在t∈[-1，-

2

5

]单调递增，在t∈[-

2

5

，1]单调递减，
∴当t=-

2

5

时，|AB|²取最大值

54

5

，此时|AB|取最大值

3 30

5

故答案为：

3 30

5

点评：本题考查三角函数求最值，涉及椭圆的参数方程和二次函数区间的最值，属中档题．