Question

（2012•湖南）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，AC⊥BD可证得BD⊥平面PAC，从而证得BD⊥PC；
（2）设AC∩BD=O，连接PO，由BD⊥平面PAC可得∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，于是∠DPO=30°，从而有PD=2OD，于是可证得△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而可求得梯形ABCD的高，继而可求S_ABCD，V_P-ABCD．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD；
又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面PAC，而PC?平面PAC，∴BD⊥PC；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，
∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，
∴∠DPO=30°，
由BD⊥平面PAC，PO?平面PAC知，BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°得PD=2OD．
∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，
∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为

1

2

AD+

1

2

BC=

1

2

×（4+2）=3，
于是S_ABCD=

1

2

×（4+2）×3=9．
在等腰三角形AOD中，OD=

2

2

AD=2

2

，
∴PD=2OD=4

2

，PA=

PD2-AD2

=4，
∴V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD×PA=

1

3

×9×4=12．

点评：本题考查直线与平面垂直判定定理与性质性质定理，考查直线与平面所成的角的应用与锥体体积，突出对分析、推理与计算能力的考查与应用，属于中档题．