Question

（2012•静安区一模）已知a＞0且a≠1，数列{a_n}是首项与公比均为a的等比数列，数列{b_n}满足b_n=a_n•lga_n（n∈N^*）．
（1）若a=2，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若对于n∈N^*，总有b_n＜b_n+1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知有an=2n，bn=anlgan=n•2nlg2，由此可得Sn=[2+2•22+3•23+…+(n-1)2n-1+n•2n]lg2，用错位相减法求出它的值．
（2）由条件可得nlga＜（n+1）alga，所以

lga＜0 (n+1)a-n＜0

，或

lga＞0 (n+1)a-n＞0

，而

lim

n→+∞

n

n+1

=1，且1＞

n

n+1

≥

1

2

，由此解得a的取值范围．

解答：解：（1）由已知有an=2n，bn=anlgan=n•2nlg2．…（2分）
∴Sn=[2+2•22+3•23+…+(n-1)2n-1+n•2n]lg2，
∴2Sn=[22+2•23+…+(n-1)2n+n•2n+1]lg2，…（5分）
所以-Sn=(2+22+23+…+2n-1+2n-n•2n+1)lg2，
求得 Sn=2lg2+(n-1)•2n+1lg2．…（8分）
（2）b_n＜b_n+1即naⁿlga＜（n+1）aⁿ⁺¹lga．由a＞0且a≠1得nlga＜（n+1）alga．（2分）
所以

lga＜0 (n+1)a-n＜0

，或

lga＞0 (n+1)a-n＞0

…（3分）
即

0＜a＜1 a＜ n n+1

，或

a＞1 a＞ n n+1

对任意n∈N*成立，…（5分）
而

lim

n→+∞

n

n+1

=1，且1＞

n

n+1

≥

1

2

，解得 0＜a＜

1

2

或a＞1，
即a的取值范围为（0，

1

2

）∪（1，+∞）． …（8分）

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，用错位相减法求数列的前n项和．