Question

设f0(x)=sin2x+cos2x，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，f1+n(x)=fn′(x)，n∈N*，则f₂₀₁₃（x）=（　　）

A．2²⁰¹²（cos2x-sin2x）

B．2²⁰¹³（sin2x+cos2x）

C．2²⁰¹²（cos2x+sin2x）

D．2²⁰¹³（sin2x+cos2x）

Answer 1

分析：利用复合函数的求导法则，通过4次求导即可找出其规律，进而即可得出答案．

解答：解：∵f₀（x）=sin2x+cos2x，∴f₁（x）=f0′(x)=2（cos2x-sin2x），f₂（x）=f1′(x)=2²（-sin2x-cos2x），
f₃（x）=f2′(x)=2³（-cos2x+sin2x），f₄（x）=f3′(x)=2⁴（sin2x+cos2x），…
通过以上可以看出：f_n（x）满足以下规律，对任意n∈N，fn+4(x)=24fn(x)．
∴f₂₀₁₃（x）=f_503×4+1（x）=2²⁰¹²f₁（x）=2²⁰¹³（cos2x-sin2x）．
故选A．

点评：熟练掌握复合函数求导的方法和通过几次求导找出其规律是解题的关键．