Question

已知函数f（x）=

lnx

x

，g(x)=-x2+ax-3
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最大值
（2）若对一切x∈（0，+∞），不等式2x²f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有e^x+1lnx+x²e＜2xe^x成立．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′(x)=

1-lnx

x2

，令f′（x）=0，解得x=e．通过分类讨论：①当0＜t＜e-2时；②当e-2＜t＜e时；③当e≤t时，得出函数的单调性即可得出其最大值；
（2）由2x²f（x）≥g（x）（x＞0）恒成立?2xlnx≥-x²+ax-3，a≤2lnx+x+

3

x

（x＞0）恒成立．
设h（x）=2lnx+x+

3

x

，利用导数求出其最小值即可；
（3）e^x+1lnx+x²e＜2xe^x（x＞0）?

lnx

x

＜

2

e

-

x

ex

（x＞0），而f（x）=

lnx

x

，令u（x）=

2

e

-

x

ex

．利用导数分别求出f（x）的最大值，u（x）的最小值，比较即可．

解答：解：（1）f′(x)=

1-lnx

x2

，令f′（x）=0，解得x=e．
①当0＜t＜e-2时，函数f（x）在x∈[t，t+2]（t＞0）上单调递增，x=t+2时，f（x）取得最大值，f（t+2）=

ln(t+2)

t+2

；
②当e-2＜t＜e时，函数f（x）在x∈[t，e]单调递增；在[e，t+2]（t＞0）上单调递减，∴当x=e时，f（x）取得最大值，f（e）=

1

e

；
③当e≤t时，函数f（x）在x∈[t，t+2]（t＞0）上单调递减，x=t时，f（x）取得最大值，f（t）=

lnt

t

．
综上可知：f（x）_max=

ln(t+2) t+2 ，0＜t＜e-2 1 e ，e-2＜t＜e lnt t ，t≥e

．
（2）由2x²f（x）≥g（x）（x＞0）恒成立?2xlnx≥-x²+ax-3，a≤2lnx+x+

3

x

（x＞0）恒成立．
设h（x）=2lnx+x+

3

x

，h′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

x2+2x-3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

．
令h′（x）=0，解得x=1，可知：当x=1时，h（x）取得最小值，且h（1）=4．
∴h（x）的最小值是h（1）=4．
∴a 的取值范围是a≤4．
（3）e^x+1lnx+x²e＜2xe^x（x＞0）?

lnx

x

＜

2

e

-

x

ex

（x＞0），而f（x）=

lnx

x

，令u（x）=

2

e

-

x

ex

．
则u′(x)=

x-1

ex

，令u′（x）=0，解得x=1，可知当x=1时，u（x）取得最小值，u（1）=

1

e

；
而由（1）可知f（x）的最大值是

1

e

，故有e^x+1lnx+x²e＜2xe^x．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化为、分类讨论的思想方法等是解题的关键．