Question

【题目】已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）给定点，设直线不经过点且与轨迹相交于，两点，以线段为直径的圆过点.证明：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义，即可得出动点的轨迹的方程；

（2）根据圆的性质得出，再将垂直关系转化为，讨论直线斜率的存在性，设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理以及，得出，从而确定直线过定点.

（1）如图，由已知，圆心，半径.

∵点在线段的垂直平分线上，则

又，∴

又∵，∴

则动点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆

从而，，，

故所求轨迹方程为.

（2）由已知，，则，

若的斜率不存在，设，由题设知，且

此时，，，，

则，解得，不符合题设.

若的斜率存在，设

将代入得

由题设可知

设，，则，

，，从而

即

化简得，解得（舍去）或

此时成立，于是

故直线过定点.