【题目】设,,其中实数
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若函数与的图象只有一个公共点,且存在最小值时,记的最小值为,求的值域;
(3)若与均在区间内为增函数,求的取值范围。
【答案】(1)递减区间为;递增区间为(2).(3)a≤﹣3或a≥1.
【解析】
(1)由f'(x)=3x2+2ax﹣a2=(3x﹣a)(x+a),a>0,由f′(x)>0,得x.由此能求出f(x)的单调区间.
(2)g(x)对称轴为,当a>0时,a且a;当a<0时,a+2且a+2.由此能求出实数a的取值范围.
(3)由已知条件知x3﹣(a2﹣2)x=0只有一个实根,得到a的范围,再利用二次函数y=g(x)有最小值,由此能求出h(a)的值域.
(1)∵f(x)=x3+ax2﹣a2x+1,
∴f'(x)=3x2+2ax﹣a2=(3x﹣a)(x+a),
∵a>0,∴由f′(x)>0,得x.
∴f(x)的递减区间为;
递增区间为
(2)由函数y=f(x),y=g(x)关于x方程:x3+ax2﹣a2x+1=ax2﹣2x+1,
即x3﹣(a2﹣2)x=0只有一个实根,x=0满足题意,
∴x2﹣(a2﹣2)=0在x时无根,
∴a2﹣2≤0,解得.
二次函数y=g(x)存在最小值,
∴a>0,∴
∵g(x)=ax2﹣2x+1=a(x)21,
∴,∴h(a)的值域为.
(3)∵g(x)=ax2﹣2x+1=a(x)21,
∴对称轴为,
当a>0时,由(1)知f(x)的递增区间为,
∵g(x)在递增,
依题意,
且(a,a+2)(),∴a且a,解得a≥1.
当a<0时,f(x)的递增区间为,
g(x)在递增,
依题意且(a,a+2)(﹣∞,),
∴a+2且a+2,解得a≤﹣3.
∴实数a的取值范围为a≤﹣3或a≥1.
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【题目】已知圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y-10=0相切于点B(6,4).
(1)求圆C的方程;
(2)过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,求直线l2的斜率;
(3)在直线l3: y=x-2上是否存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F, 使△QEF为正三角形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.
(1)列出甲、乙两种产品满足的关系式,并画出相应的平面区域;
(2)在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨时可获得利润最大,最大利润是多少?
(用线性规划求解要画出规范的图形及具体的解答过程)
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【题目】《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目,邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼。“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成,成员上至古稀老人,下至垂髫小儿,人数按照年龄分组统计如下表:
分组(年龄) | |||
频数(人) |
(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取人参加挑战,求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数;
(2)在(1)中抽出的人中,任选人参加一对一的对抗比赛,求这人来自同一年龄组的概率。
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【题目】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就,在“杨辉三角”中,第行的所有数字之和为,若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此数列的前15项和为( )
A. 110B. 114C. 124D. 125
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【题目】如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有:( )
A.∥平面B.平面∥平面
C.直线与直线所成角的大小为D.
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【题目】如图,在正四棱锥中,O为顶点S在底面ABCD内的投影,P为侧棱SD的中点,且.
(1)证明:平面PAC.
(2)求直线BC与平面PAC的所成角的大小.
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