Question

15．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，有b²+c²=a²+bc
（1）求角A的大小；
（2）求$f（x）=sin（x-A）+\sqrt{3}cosx$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据已知利用余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）利用两角和与差的正弦函数公式化简可得解析式f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的性质可求最大值．

解答 （本小题满分12分）
解析：（1）∵b²+c²=a²+bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$；                              …（6分）
（2）f（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cosx
=$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\sqrt{3}$cosx
=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx
=sin（x+$\frac{π}{3}$），…（10分）
∴f（x）_max=1．                                        …（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．