Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]

已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f（x）=|2x﹣1|+|2x+1≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，
∵不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，
∴a2﹣2a﹣1≤2，
∴a2﹣2a﹣3≤0，
∴﹣1≤a≤3；
（Ⅱ）要证： 成立，
只需证 ，
两边平方，整理即证（2m+1）（2n+1）≤4，
即证mn≤ ，
又m+n=1，
∴mn≤ = ．
故原不等式成立
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，可得a2﹣2a﹣1≤2，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证： 成立，只需证 ，利用分析法的证明步骤，结合基本不等式证明即可．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法和不等式的证明对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．