Question

已知函数f（x）满足：对任意正数x₁＜x₂，有f（x₁）＞f（x₂），且f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．请写出一个满足条件的函数，则这个函数可以写为f（x）=________（注：只需写出一个函数即可）．

Answer 1

lgx
分析：先利用单调性的定义判断函数为（0，+∞）上的增函数，再由运算性质f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）可判断函数可为对数函数，故只要写一个对数增函数即可
解答：由条件“对任意正数x₁＜x₂，有f（x₁）＞f（x₂）”知此函数为（0，+∞）上的增函数
又由条件“f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）”，可知此此性质可为对数函数性质lg（x₁•x₂）=lg（x₁）+lg（x₂）．
故此函数可以为f（x）=lgx
故答案为 lgx
点评：本题考查了抽象函数表达式反映函数性质的意义和应用，对数函数的性质和对数运算的性质，类比推理的能力