Question

13．已知O为△ABC内一点，满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，且$∠BAC=\frac{π}{3}$，则△OBC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知得O为三角形的重心，从而△OBC的面积为△ABC面积的$\frac{1}{3}$，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，且$∠BAC=\frac{π}{3}$，得|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|=4，由此求出△ABC面积，从而得到△OBC的面积．

解答 解：∵O为△ABC内一点，满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$，
∴O为三角形的重心，∴△OBC的面积为△ABC面积的$\frac{1}{3}$，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，且$∠BAC=\frac{π}{3}$，∴|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|×$\frac{1}{2}$=2，
∴|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|=4，
∴△ABC面积为$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴△OBC的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形重心性质的合理运用．