Question

设函数f（x）=3sin（ωx+

π

6

），ω＞0，x∈（-∞，+∞），且f（x）以

π

2

为最小正周期．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（

α

4

+

π

12

）=

9

5

，求sinα的值．
（3）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）通过函数的周期，求出ω，即可得到f（x）的解析式；
（2）通过f（

α

4

+

π

12

）=

9

5

，求出cosα，然后求sinα的值．
（3）通过正弦函数的单调增区间直接求解f（x）的单调增区间．

解答： 解：（1）函数f（x）=3sin（ωx+

π

6

），ω＞0，x∈（-∞，+∞），且f（x）以

π

2

为最小正周期．
∴T=

π

2

=

2π

ω

，∴ω=4，∴函数f（x）=3sin（4x+

π

6

）．
（2）f（

α

4

+

π

12

）=

9

5

，得3sin[4×(

α

4

+

π

12

)+

π

6

]=

9

5

，即sin(α+

π

2

)=

3

5

．
∴cosα=

3

5

，…（8分）
∴sinα=±

1-cos2α

=±

1-( 3 5 )2

=±

4

5

．…（10分）
（3）由-

π

2

+2kπ≤4x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．得
-

π

6

+

kπ

2

≤x≤

π

12

+

kπ

2

，k∈Z．
∴f（x）的单调增区间[-

π

6

+

kπ

2

，

π

12

+

kπ

2

]               …（14分）

点评：本题考查三角函数的解析式以及三角函数的基本关系式以及正弦函数的单调性的应用．