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    我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
    第1列第2列第3列…第n列
    第1行111…1
    第2行q
    第3行q2
    ……
    第n行qn-1
    （1）设第2行的数依次为B1，B2，…，Bn，试用n，q表示B1+B2+…+Bn的值；
    （2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
    （3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
    ①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
    ②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．
    【答案】分析：（1）根据题意分别求出B1、B2，利用归纳法求出Bn，再由分组求和法求出和式的值；
    （2）根据题意分别求出c1，c2，c3，再进行作差：c1+c3-2c2，化简后判断出符号，即得证；
    （3）①先设c1，c2，c3成等比数列求出公比q，再去检验是否为q，求出m和q；
    ②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，有条件分别求出各项，再求出对应的公比，再由k≠m进行判断．
    解答：解：（1）由题意得，B1=q，B2=1+q，
    B3=1+（1+q）=2+q，…，Bn=（n-1）+q，
    ∴B1+B2+…+Bn=1+2+…+（n-1）+nq=．
    （2）由题意得，c1=1，c2=1+（1+q）=2+q，
    ，
    由 ，
    即 c1+c3＞2c2．  
    （3）①先设c1，c2，c3成等比数列，由得，
     3+2q+q2=（2+q）2，．
    此时 c1=1，，
    ∴c1，c2，c3是一个公比为的等比数列． 
    如果m≥4，c1，c2，…，cm为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列．
    由上所述，此时，，，
    由于，因此，对于任意m≥4，c1，c2，…，cm一定不是等比数列．
    综上所述，当且仅当m=3且时，数列c1，c2，…，cm是等比数列．
    ②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
    则，
    若第k+1列的前三项x1，x2，x3是等比数列，则
    由，得，，，
    同理，若第m+1列的前三项y1，y2，y3是等比数列，则．
    当k≠m时，．
    所以，无论怎样的q，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列．
    点评：本题考查了等比和等差数列的通项公式、前n项和公式以及性质的应用，考查了分析问题和解决问题的能力．
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    第1列 第2列 第3列 … 第n列
    第1行 1 1 1 … 1
    第2行 q
    第3行 q2
    … …
    第n行 qn-1
    （Ⅰ）设第2行的数依次为b1，b2，b3，…，bn，试用n、q表示b1+b2+b3+…+bn的值；
    （Ⅱ）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，总有cm-1+cm+1＞2cm成立（其中2≤m≤n-1且m为偶数）；
    （Ⅲ）能否找到一个实数q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•上海）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
    第1列 第2列 第3列 … 第n列
    第1行 1 1 1 … 1
    第2行 q
    第3行 q2
    … …
    第n行 qn-1
    （1）设第2行的数依次为B1，B2，…，Bn，试用n，q表示B1+B2+…+Bn的值；
    （2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
    （3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
    ①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
    ②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．

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    科目：高中数学 来源：上海 题型：解答题

    我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
    第1列 第2列 第3列 … 第n列
    第1行 1 1 1 … 1
    第2行 q
    第3行 q2
    … …
    第n行 qn-1
    （1）设第2行的数依次为B1，B2，…，Bn，试用n，q表示B1+B2+…+Bn的值；
    （2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
    （3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
    ①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
    ②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    21.我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.

     

    第1列

    第2列

    第3列

    …

    第列

    第1行

    1

    1

    1

    …

    1

    第2行

     

     

     

     

    第3行

     

     

     

     

    …

    …

     

     

     

     

    第行

     

     

     

     

    (1) 设第2行的数依次为，试用表示的值；

    (2) 设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，；

    (3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.

        ① 能否找到的值，使得(2) 中的数列的前项 () 成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由.

        ② 能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.

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