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设函数,其中.证明:当时,函数没有极值点;当时,函数有且只有一个极值点,并求出极值.

 

【答案】

时,函数没有极值点;

时,

时,函数有且只有一个极小值点,极小值为

时,函数有且只有一个极大值点,极大值为

【解析】

试题分析:证明:因为,所以的定义域为

时,如果上单调递增;

如果上单调递减.

所以当,函数没有极值点.

时,

,得(舍去),

时,的变化情况如下表:

0

极小值

从上表可看出,

函数有且只有一个极小值点,极小值为

时,的变化情况如下表:

0

极大值

从上表可看出,

函数有且只有一个极大值点,极大值为

综上所述,当时,函数没有极值点;

时,

时,函数有且只有一个极小值点,极小值为

时,函数有且只有一个极大值点,极大值为

考点:函数的极值

点评:解决的关键是能对于含有参数的函数的导数的符号进行分类讨论,得到结论,属于中档题。

 

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