设函数,其中.证明:当时,函数没有极值点;当时,函数有且只有一个极值点,并求出极值.
当时,函数没有极值点;
当时,
若时,函数有且只有一个极小值点,极小值为.
若时,函数有且只有一个极大值点,极大值为.
【解析】
试题分析:证明:因为,所以的定义域为.
.
当时,如果在上单调递增;
如果在上单调递减.
所以当,函数没有极值点.
当时,
令,得(舍去),,
当时,随的变化情况如下表:
0 |
|||
极小值 |
从上表可看出,
函数有且只有一个极小值点,极小值为.
当时,随的变化情况如下表:
0 |
|||
极大值 |
从上表可看出,
函数有且只有一个极大值点,极大值为.
综上所述,当时,函数没有极值点;
当时,
若时,函数有且只有一个极小值点,极小值为.
若时,函数有且只有一个极大值点,极大值为.
考点:函数的极值
点评:解决的关键是能对于含有参数的函数的导数的符号进行分类讨论,得到结论,属于中档题。
科目:高中数学 来源:2010-2011学年江西省南昌三中高三(上)10月月考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题
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