Question

2．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{3}{2}$），且离心率e=$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的右顶点为A，若直线l：y=kx+m与椭圆E相交于M、N两点（异于A点），且满足MA⊥NA，试证明直线l经过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意的离心率公式e=$\frac{c}{a}$，求得a=2c，b²=3c²，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由题意可知$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0，由向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m和k的关系，代入即可求得直线恒过定点．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，b²=a²-c²=3c²，
将（1，-$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，解得：c=1，则a²=4，b²=3，
椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（3分）
（Ⅱ）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
则x₁+x₂=-$\frac{8mk}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
且△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0，
∵以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A
∴AM⊥AN，即$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0，则（x₁-2，y₁）（x₂-2，y₂）=0，即y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
又y₁y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$+2×$\frac{8mk}{3+4{k}^{2}}$+4=0，
化简得，7m²+4k²+16mk=0
解得m=-2k或m=-$\frac{2k}{7}$且均满足3+4k²-m²＞0
当m=-2k时，L：y=k（x-2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m=-$\frac{2k}{7}$时，L；y=k（x-$\frac{2}{7}$），直线过定点（$\frac{2}{7}$，0），
综上，直线l过定点，定点坐标为（$\frac{2}{7}$，0）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．