Question

（2009•虹口区一模）已知：命题p：1≤x≤3；命题q：x+

4

x

-m≤0，当p是q的充分条件时，实数m的取值范围是

[5，+∞）

．

Answer 1

分析：将p是q的充分条件转化为q：x+

4

x

-m≤0在1≤x≤3恒成立，分离出m转化为求函数的最大值，利用导数判断出y=x+

4

x

的单调性，求出函数的最大值．

解答：解：因为p是q的充分条件，
所以q：x+

4

x

-m≤0在1≤x≤3恒成立，
所以m≥x+

4

x

在1≤x≤3恒成立，
所以m≥(x+

4

x

)最大值即可
令y=x+

4

x

，
y′=1-

4

x2

当1＜x＜2时，y′＜0，当2＜x＜3时，y′＞0，
当x=1时，y=5；当x=3时，y=4

1

3

所以m≥5
故答案为[5，+∞）

点评：解决不等式恒成立问题，一般利用的方法是分离参数转化为求函数的最值，本题的关键是将p是q的充分条件转化为q：x+

4

x

-m≤0在1≤x≤3恒成立．