Question

甲、乙两个盒子中装有大小相同的小球，甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个黑球和3个红球，从甲、乙两盒中各取一球交换．
（I）求交换后甲盒中黑球多于乙盒中黑球的概率；
（II）设交换后甲盒中黑球的个数为ξ，求ξ数学期望．

Answer 1

分析：（I）交换后甲盒中黑球多于乙盒中黑球，表示从乙盒中拿出的是一个黑球，从甲和中拿出的是一个红球，根据这两个事件是相互独立的，根据相互独立事件的概率得到结果．
（II）由题意知交换后甲盒中黑球的个数为ξ，ξ的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件，写出分布列，在变量等于2时要注意包含两种情况，一是从两个盒子中各拿一个红球，二是各拿一个黑球，这两种情况是互斥的．

解答：解：（I）甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个黑球和3个红球，
从甲、乙两盒中各取一球交换．交换后甲盒中黑球多于乙盒中黑球，
表示从乙盒中拿出的是一个黑球，从甲和中拿出的是一个红球，
根据这两个事件是相互独立的，
∴P=

2

4

×

2

5

=

1

5

（II）由题意知交换后甲盒中黑球的个数为ξ，ξ的可能取值是1，2，3
P（ξ=1）=

1

2

×

3

5

=

3

10

，
P（ξ=2）=

1

2

×

2

5

+

1

2

×

3

5

=

1

2

P（ξ=3）=1-

3

10

-

1

2

=

1

5

，
∴Eξ=1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

5

=11.9

点评：本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个近几年经常考到的问题，注意本题的解题格式．