Question

（2012•淮北二模）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤f（

π

6

）|对一切x∈R恒成立，则
①f（

11π

12

）=0；
②|f（

7π

12

）|＜|f（

π

5

）|；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是

①③⑤

（写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

分析：化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得f（

π

6

） 是三角函数的最大值，得到x=

π

6

是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+

1

2

π，求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．

解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=±

a2+b2

sin（2x+θ）
由f（x）≤f（

π

6

）可得f（

π

6

）为函数f（x）的最大值
∴2×

π

6

+θ=kπ+

1

2

π
∴θ=kπ+

1

6

π
∴f（x）=asin2x+bcos2x=±

a2+b2

sin（2x+

1

6

π）
对于①f（

11π

12

）=

a2+b2

sin（2×

11π

12

+

1

6

π）=0；故①对
对于②，|f（

7π

12

）|=

a2+b2

|sin（

7π

6

+

1

6

π）|=

3(a2+b2)

2

|f（

π

5

）|=

a2+b2

|sin（

2π

5

+

π

6

）|=

a2+b2

|sin

2π

3

|=

3(a2+b2)

2

∴|f（

7π

12

）|＞|f（

π

5

）|故②错
对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数，故③正确
对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对
对于⑤要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|＞

a2+b2

，b²＞a²+b²这不可能，矛盾，故不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故⑤正确
故答案为：①③⑤

点评：本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法．