Question

已知离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)过点M(

6

，1)，O为坐标原点
（1）求椭圆方程
（2）已知直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若直线l是圆O：x2+y2=

8

3

的一条切线，求证：∠AOB=

π

2

．

Answer 1

分析：（1）由离心率可得a²=2b²，故椭圆的方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，把点M的坐标代入可得b²的值，从而得到椭圆方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，经检验可得三角形AOB为等腰直角三角形，∠AOB=

π

2

．当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，由切线的性质可得3b²=8+8k² ①，把直线l的方程代入椭圆的方程化简利用根与系数的关系，计算OA和OB的斜率之积等于-1，从而得到∠AOB=

π

2

．

解答：解：（1）由题意可得

a2-b2

a2

=

1

2

，∴a²=2b²，故椭圆的方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，把点M的坐标代入可得b²=4，a²=8，故椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=

2 6

3

，代入椭圆的方程可得A（

2 6

3

，-

2 6

3

 ），
B（

2 6

3

，

2 6

3

 ），显然AOB为等腰直角三角形，∠AOB=

π

2

．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx+b，由切线的性质可得

8 3

=

|0-0+b|

k2+1

，3b²=8+8k² ①，
把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得 （1+2k²）x²+4kbx+2b²-8=0．
∴x₁+x₂=

-4kb

1+2k2

，x₁x₂=

2b2- 8

1+2k2

，故OA 和OB的斜率之积等于

kx1+ b

x1

•

kx2+b

x2

=

k2x1x2+ kb(x1+x2)+b2

x1x2

=

b2-8k2

2b2-8

，又由①得  8k²=3b²-8，
故OA 和OB的斜率之积等于

b2-(3b2-8)

2b2-8

=-1，∴OA⊥OB，∴∠AOB=

π

2

．

点评：本题考查求椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，
证明OA 和OB的斜率之积等于-1，是解题的难点和关键．