Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2$\sqrt{2}$，PD=2．
（Ⅰ）证明：AC⊥PB；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得AC⊥BD，由线面垂直得PD⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．
（Ⅱ）由V_B-ADE=V_E-ABD，利用等积法能求出三棱锥B-ADE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵AD=CD，且DB平分∠ADC，∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
又∵PD∩BD=D，且PD?平面PBD，BD?平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
又PB?平面PBD，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）AF⊥BD，
∵AD⊥CD，AD=CD=1知F为AC中点，∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由（2）知AF⊥BD，∴S_△ABD=$\frac{1}{2}BD•AF$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
又∵PD⊥平面ABCD，PD=2，E为PC中点，
∴E到平面ABD的距离为h=$\frac{1}{2}PD$=1，
∴V_B-ADE=V_E-ABD=$\frac{1}{3}•1•1$=$\frac{1}{3}$，
∴三棱锥B-ADE的体积为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，是中档题，正确转化是关键．