Question

8．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）-sin（2x+π）．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换，化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调减区间；
（2）根据函数的图象平移变换，得出函数g（x）的解析式，根据函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的单调性求出最值即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）-sin（2x+π）
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+sin2x
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），…（3分）
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；…（4分）
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
则$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z；…（6分）
（2）由已知得g（x）=f（x-$\frac{π}{4}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），…（8分）
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，…（10分）
∴当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0时，g（x）_min=g（0）=-1；
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，g（x）_max=g（$\frac{π}{3}$）=2；
∴函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为2，最小值为-1…（12分）

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目．