【题目】已知函数
.
（1）讨论函数
的零点个数；
（2）已知
，证明：当
时，
.
【答案】（1）当
或
时，
个零点；当
时，
个零点；当
时，
个零点.（2）见解析
【解析】分析：（1）先换元，令
得到
，转化成求函数
的零点个数，再对a分类讨论求函数
的零点个数. (2)先转化成只需证
.再转化成左边函数的最大值，小于右边函数的最小值.
详解：（1）
.令
.
令，则函数与
的零点个数情况一致. 
.
1）时，
在
上单调递增.
又
个零点.
2）
时，
在
上单调递增，
上单调递减.
.
①
即时，
，无零点.
②
即时，
个零点.
③
即时，
，又
.
又
，
，
令
，
在
上单调递增，
两个零点.
综上：当或时，个零点；当时，个零点；当时，个零点.
（2）要证
，只需证.
令
，只需证：
.
令
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
.
令
在
上单调递增，
，
故.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设
、
分别是椭圆
的左、右焦点.若
是该椭圆上的一个动点，
的最大值为1.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
两点，点
关于
轴的对称点为
(与
不重合)，则直线
与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
，有如下性质：如果常数
，那么该函数在
上是减函数，在
上是增函数.
（1）已知
，
，利用上述性质，求
的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数
，若对任意的
，总存在
使得
成立，求实数
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知在平面直角坐标系
中，椭圆C：
离心率为
，其短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，A为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP与直线OQ的斜率分别为
，
，且
， 
，
（
为非零实数），求
的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某商店经营的某种消费品的进价为每件14元，月销售量
（百件）与每件的销售价格
（元）的关系如图所示，每月各种开支2 000元．
（1）写出月销售量（百件）关于每件的销售价格（元）的函数关系式．
（2）写出月利润
（元）与每件的销售价格（元）的函数关系式．
（3）当该消费品每件的销售价格为多少元时，月利润最大？并求出最大月利润．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知向量
= (1，2sinθ)，
= (sin(θ+
)，1)，θ
R。
(1) 若⊥，求 tanθ的值；
(2) 若∥，且 θ (0，
)，求 θ的值
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