Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₃=，且S₁，S₂，S₄成等比数列，

（1）求数列{a_n}的通项公式.

（2）若{a_n}又是等比数列，令b_n= ，求数列{b_n}的前n项和T_n.

 

Answer 1

【答案】

（1）a_n=3或a_n=2n-1; （2）T_n= 

【解析】

试题分析：（1）首先根据等差数列的性质，把已知条件转化为关于a₂的方程，解出a₂的值，然后再根据等比数列的性质，结合已知条件列出关于a₂、d的方程，求出公差d即可求出通项公式；（2）求出S_n的表达式，利用裂项法求和.

试题解析：（1）设数列{a_n}的公差为d，由S₃=，可得3a₂=，解得a₂=0或a₂=3.

由S₁，S₂，S₄成等比数列，可得 ,由，故 .

若a₂=0，则，解得d=0.此时S_n=0.不合题意；

若a₂=3，则，解得d=0或d=2，此时a_n=3或a_n=2n-1.

（2）若{a_n}又是等比数列，则S_n=3n，所以b_n=== ，

故T_n=（1－ ）+（－ ）+（－）+…+（）=1－=.

考点：1.等差数列和等比数列的性质；2.等差数列的通项公式；3.数列的前n项和求法—裂项法.