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已知数列{an}的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn=(
an+1
2
)2

(I)求an与an-1(n≥2)之间的关系式,并求{an}的通项公式;
(II)求证
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<2
分析:(I)由4Sn=(an+1)2,知4Sn-1=(an-1+1)2,所以{an}是公差d=2的等差数列,由此能求出an与an-1(n≥2)之间的关系式,并能求了{an}的通项公式.
(II)由Sn=n2,知
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=
1
12
+
1
22
+…+
1
n2
,由
1
n2
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
,n≥2,能够证明
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<2
解答:解:(I)∵4Sn=(an+1)2①,
4Sn-1=(an-1+1)2②,
①-②得4an=an2+2an+1-an-12-2an-1-1
a
2
n
-
a
2
n-1
-2(an+an-1)=0⇒(an+an-1)(an-an-1-2)=0

∵an>0,
an-
a
 
n-1
=2(n≥2)

∴{an}是公差d=2的等差数列,
4a1=(a1+1)2
∴a1=1,
∴an=2n-1.
(II)∵Sn=n2
1
Sn
=
1
n2

1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=
1
12
+
1
22
+…+
1
n2

1
n2
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
,n≥2,
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=
1
12
+
1
22
+…+
1
n2

1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)

=2-
1
n
<2.
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<2
点评:本题考查数列与不等式的综合运用,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细挖掘题设中的隐含条件,注意放缩法和裂项求和法的合理运用.
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2n
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