Question

短半轴长为3的椭圆的一个焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：这道题目考查了椭圆中关于基本参量的定义与运算．由于离心率是椭圆的固有属性，与研究椭圆时焦点选定在x轴或y轴上无关，那么我们不妨以椭圆的焦点在x轴上为例来讨论．设椭圆的长轴的左顶点为A，右定点为B，由于椭圆的两个焦点具有对称性，以哪一个为研究对象均可，不妨以椭圆的左焦点为例，并设其为F1．由已知可得焦点到长轴顶点的距离，由于出题人未告知是长轴的左定点还是右定点，我们要分类讨论．若为左定点A，则依我们选取的左焦点为研究对象可得|AF1|=|OA|-|OF1|=9，而|OA|即为椭圆的长半轴长a，|OF1|即为椭圆的半焦距长c，则有a-c=9；又已知b=3，结合椭圆中参量的基本关系a²=b²+c²，即可解出各个参量，进而依离心率的定义求解它的值即可．若题目所述的顶点为右定点，则同理可得|BF1|=|OB|+|OF1|=a+c，在依照上述步骤求解即可，并最后进行检验．
解答：不妨设椭圆的焦点在x轴上，并以椭圆的左焦点为例．设椭圆的长轴的左顶点为A，右定点为B，左焦点为F1．
（1）若题目所述的长轴顶点为左定点A，则依题意有|AF1|=|OA|-|OF1|=9，而|OA|即为椭圆的长半轴长a，|OF1|即为椭圆的半焦距长c，则有a-c=9①；又已知b=3，且有a²=b²+c²②，将b=3代入②，有a²=3²+c²，即（a+c）（a-c）=9，将①代入得a+c=1③，联解①、③，可得a=5，c=-4，显然不合题意，故舍去，即情况（1）不成立；
（2）若题目所述的长轴顶点为左定点B，则依题意有|NF1|=|OB|+|OF1|=9，而|OB|即为椭圆的长半轴长a，|OF1|即为椭圆的半焦距长c，则有a+c=9①；又已知b=3，且有a²=b²+c²②，同（1）中解法解得a=5，c=4，显然合题意．
依离心率的定义有e==，故选择C．
点评：在这道题目中大家一定要注意分类讨论并检验，如果作为一道解答题，你没有分情况讨论，即使你的答案正确，也必然会因过程失分，同学们一定要培养良好的思维习惯．