Question

已知函数f(x)=

|x+7|+|x-1|-m

的定义域为R．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，解关于x的不等式|x-3|-2x≤2m-12．

Answer 1

分析：（1）由题意，|x+7|+|x-1|≥m恒成立，设g（x）=|x+7|+|x-1|，则g(x)=

-2x-6，x≤-7 8，-7＜x＜1 2x+6，x≥1

，求得g（x）≥8，由此可得m的范围．
（2）由（1）知m的最大值为8，故原不等式即为|x-3|≤2x+4，解得x的范围，可得原不等式的解集．

解答：解：（1）由题意，|x+7|+|x-1|≥m恒成立，
设g（x）=|x+7|+|x-1|，则g(x)=

-2x-6，x≤-7 8，-7＜x＜1 2x+6，x≥1

，∴g（x）≥8，
由题意得：m≤8，即m的范围为（-∞，8]．…（5分）
（2）由（1）知m的最大值为8，故原不等式即为|x-3|≤2x+4，即-2x-4≤x-3≤2x+4，解得x≥-

1

3

，
所以原不等式的解集为{x|x≥-

1

3

}．…（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．