Question

14．已知函数f（x）=log_a（3+2x），g（x）=log_a（3-2x）（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）-g（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数F（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（Ⅲ）求使得f（x）-g（x）＞0的x的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解$\left\{\begin{array}{l}{3+2x＞0}\\{3-2x＞0}\end{array}\right.$可解函数F（x）的定义域；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知定义域关于原点对称，由奇函数的定义可证；
（Ⅲ）问题转化为log_a（3+2x）＞log_a（3-2x），针对a结合对数函数的单调性分类讨论可得．

解答 解：（Ⅰ）F（x）=f（x）-g（x）=log_a（3+2x）-log_a（3-2x），
由$\left\{\begin{array}{l}{3+2x＞0}\\{3-2x＞0}\end{array}\right.$，可解得：$-\frac{3}{2}＜x＜\frac{3}{2}$，
∴函数F（x）的定义域为$\left\{{x|-\frac{3}{2}＜x＜\frac{3}{2}}\right\}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数F（x）的定义域为$\left\{{x|-\frac{3}{2}＜x＜\frac{3}{2}}\right\}$关于原点对称，
且F（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（3-2x）-log_a（3+2x）=-F（x）
∴函数F（x）为奇函数；
（Ⅲ）∵f（x）-g（x）＞0，∴log_a（3+2x）-log_a（3-2x）＞0，
∴log_a（3+2x）＞log_a（3-2x），分类讨论可得：
①当0＜a＜1时，由3+2x＜3-2x结合定义域可解得$-\frac{3}{2}＜x＜0$；
②当a＞1时，由3+2x＞3-2x结合定义域解得$0＜x＜\frac{3}{2}$．
综上：当0＜a＜1时，不等式的解集为$\left\{{x|-\frac{3}{2}＜x＜0}\right\}$；
当a＞1时，不等式的解集为$\left\{{x|0＜x＜\frac{3}{2}}\right\}$．

点评 本题考查对数函数的图象和性质，涉及分类讨论的思想，属基础题．