Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（a-3）x+5，（x≤1）\\ \frac{2a}{x}，（x＞1）\end{array}\right.$，满足对任意的，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，3）
• B． （0，3]
• C． （0，2）
• D． （0，2]

Answer 1

分析 由已知条件及减函数的定义便可判断f（x）在R上为减函数，从而根据一次函数、反比例函数的单调性，及减函数的定义可以得出a应满足$\left\{\begin{array}{l}{a-3＜0}\\{a＞0}\\{（a-3）•1+5≥\frac{2a}{1}}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得到a的取值范围．

解答 解：根据题意知，f（x）在R上单调递减；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3＜0}\\{a＞0}\\{（a-3）•1+5≥\frac{2a}{1}}\end{array}\right.$；
解得0＜a≤2；
∴a的取值范围为（0，2]．
故选：D．

点评 考查减函数的定义，以及一次函数、反比例函数的单调性，分段函数的单调性．