Question

已知f(x)=,n∈N^*,试比较f()与的大小,并且说明理由.

Answer 1

见解析

f()==
=1-,
而=1-,
∴f()与的大小等价于2ⁿ与n²的大小.
当n=1时,2¹>1²;当n=2时,2²=2²;
当n=3时,2³<3²;当n=4时,2⁴=4²;
当n=5时,2⁵>5².猜想当n≥5时,2ⁿ>n².
以下用数学归纳法证明:
①当n=5时,由上可知不等式成立;
②假设n=k(k≥5,k∈N^*)时,
不等式成立,即2^k>k²,
则当n=k+1时,2^k+1=2·2^k>2k²,
又∵2k²-(k+1)²=(k-1)²-2>0(∵k≥5),即2^k+1>(k+1)²,
∴n=k+1时,不等式成立.
综合①②对n≥5,n∈N^*不等式2ⁿ>n²成立.
∴当n=1或n≥5时,f()>;
当n=3时,f()<;
当n=2或4时,f()=.