Question

【题目】已知数列{an}满足a1=2，an+1= （n∈N+）．
（1）计算a2 ， a3 ， a4 ， 并猜测出{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜测．

Answer 1

【答案】
（1）解：a1=2，an+1= ，

当n=1时，a2= = ，

当n=2时，a3= =0，

当n=4时，a4= =﹣ ，

∴猜想an= ，（n∈N+）

（2）解：①当n=1时，a1= =2，等式成立，

②假设n=k时，猜想成立，即ak= ，

那么当n=k+1时，ak+1= = = ，等式成立，

由①②可知，an= ，（n∈N+）．

【解析】（1）由an+1= ，分别令n=1，2，3，能求出a2 ， a3 ， a4的值，根据前四项的值，总结规律能猜想出an的表达式．（2）当n=1时，验证猜相成立；再假设n=k时，猜想成立，由此推导出当n=k+1时猜想成立，由此利用数学归纳法能证明猜想成立．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式和数学归纳法的定义的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能正确解答此题．