【题目】已知数列与满足:,且为正项等比数列,,.
(1)求数列与的通项公式;
(2)若数列满足,为数列的前项和,证明:.
【答案】(1),;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由a1+a2+a3+…+an=2bn①,n≥2时,a1+a2+a3+…+an﹣1=2bn﹣1②,①﹣②可得:an=2(bn﹣bn﹣1)(n≥2),{an}公比为q,求出an,然后求解bn;(2)化简(n∈N*),利用裂项消项法求解数列的和即可.
(1)由a1+a2+a3+…+an=2bn①
n≥2时,a1+a2+a3+…+an﹣1=2bn﹣1②
①﹣②可得:an=2(bn﹣bn﹣1)(n≥2),
∴a3=2(b3﹣b2)=8
∵a1=2,an>0,设{an}公比为q,
∴a1q2=8,∴q=2
∴an=2×2n﹣1=2n
∴,
∴bn=2n﹣1.
(2)证明:由已知:.
∴
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【题目】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图),并沿虚线l1,l2裁剪成A,B,C三个矩形(B,C全等),用来制成一个柱体.现有两种方案:
方案①:以为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;
方案②:以为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个正方形(各边分别与或垂直)作为正四棱柱的两个底面.
(1)设B,C都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径;
(2)设的长为dm,则当为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?
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【题目】如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
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【题目】如图,是的直径,PA垂直于所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.
(1)证明:是直角三角形;
(2)若,且当直线与平面所成角的正切值为时,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC, PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值.
(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行调查,通过抽样,获得某年100为居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图的的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由.
(3)估计居民月用水量的中位数.
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【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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【题目】某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了场比赛,他们所有比赛得分的情况如下:
甲:;
乙: .
(1)求甲、乙两名运动员得分的中位数.
(2)分别求甲、乙两名运动员得分的平均数、方差,你认为哪位运动员的成绩更稳定?
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