Question

已知函数f（x）=x²+alnx．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数g(x)=f(x)+

2

x

在[1，+∞）上是增函数，不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出函数的定义域，把a代入到函数中并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内讨论导函数的正负得到函数的单调区间及极值；
（Ⅱ）把f（x）代入到g（x）中得到g（x）的解析式，求出其导函数大于0即函数单调，可设φ（x）=

2

x

-2x²，求出其导函数在[1，+∞）上单调递减，求出φ（x）的最大值，列出不等数求出解集即为a的取值范围．

解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-2时，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1）；
单调递增区间是（1，+∞）．
极小值是f（1）=1；

（Ⅱ）由g(x)=x2+alnx+

2

x

，得g′(x)=2x+

a

x

-

2

x2

又函数g(x)=x2+alnx+

2

x

为[1，+∞)上单调增函数，
则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞)上恒成立
也即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立
又?(x)=

2

x

-2x2在[1，+∞）为减函数，
所以φ（x）_max=φ（1）=0．
所以a≥0．a的取值范围为[0，+∞）．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值．以及理解函数恒成立所取的条件．