Question

设已知F为抛物线C：y²=4nx（n∈N₊）的焦点，P为抛物线C上的一动点，定点A（1，1），动点P到点A，F的距离和的最小值记为a_n；b₁=9，b_n+1=

b

2 n

+2b_n，c_n=

cos(πanan+1)

cos πan 3 cos πan+1 3

（I）证明：{lg（b_n+1）}是等比数列，并求bn．．
（Ⅱ）求a_n，并求数列{a_n•lg（b_n+1）}前n项的和Sn，
（Ⅲ）求数列{c_n}前n项的和Tn..

Answer 1

分析：（I）由bn+1=bn2+2bn，知b_n+1+1=bn2+2bn+1=（b_n+1）²，由此能够证明{lg（b_n+1）}是以2为公比的等比数列，并能求出bn．
（Ⅱ）焦点F（n，0），准线l：x=-n，分别过P，A作准线l的垂线，垂足为B，C，由抛物线的定义，得：|PF|=|PB|，|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|=1+n，故a_n=n+1，Sn=2×20+3×21+4×22+…+（n+1）×2^n-1，由此利用错位相减法能够求出S_n．
（Ⅲ）由a_na_n+1=（n+1）•（n+2），知a_na_n+2是偶数，故cos（πa_na_n+1）=cos0=1，由此能够求出数列{c_n}前n项的和T_n..

解答：解：（I）∵bn+1=bn2+2bn，
∴b_n+1+1=bn2+2bn+1=（b_n+1）²，
∴lg（b_n+1+1）=2lg（b_n+1），
∴{lg（b_n+1）}是以2为公比的等比数列，
∴lg（b_n+1）=2ⁿ⁺¹•lg（9+1）=2ⁿ⁺¹，
∴bn=102n+1-1．
（Ⅱ）焦点F（n，0），准线l：x=-n，
分别过P，A作准线l的垂线，垂足为B，C，
由抛物线的定义，得：|PF|=|PB|，
|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|=1+n，
∴a_n=n+1，
∵an•lg(bn+1)=(n+1)•2n-1，
∴Sn=2×20+3×21+4×22+…+（n+1）×2^n-1，①
∴2S_n=2×2+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ，②
①-②，得-S_n=2+2+2²+2³+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ=2+

2(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=n•2ⁿ．

（Ⅲ）∵a_na_n+1=（n+1）•（n+2），
n+1，n+2是两个连续的整数，
∴a_na_n+2是偶数，∴cos（πa_na_n+1）=cos0=1，
∴cn=

1

cos (n+1)π 3 cos (n+2)π 3

，
∴c_n+1=

1

cos[π+ (n+1)π 3 ]cos[π+ (n+2)π 3 ]

=c_n，
∵c1=

1

cos 2π 3 cosπ

=2，
c2=

1

cosπcos 4π 3

=2，c3=

1

cos 4π 3 cos 5π 3

=-4，
∴c₁+c₂+c₃=0，
∵T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
∴当n=3k（k∈N₊）时，T_n=3（c₁+c₂+c₃）=0，
当n=3k+1，（k∈N₊）时，T_n=k（c₁+c₂+c₃）+c₁=2，
当n=3k（k∈N₊）时，T_n=k（c₁+c₂+c₃）+c₁+c₂=4，
∴Tn=

0，n=3k 2，n=3k+1 4，n=3k+2

，k∈N+．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，综合性强，难度大，解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的灵活运用．