Question

设函数，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2，如果不等式f（x）＜（x-2）lgm在区间[1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：依据题意利用函数解析式，结合题设不等式求得1-a＞（ ）^x+（ ）^x+…+（ ）^x，记为g（x）．根据m的范围，判断出g（x）在[1，+∞）上单调递减，进而求得函数g（x）的最大值，利用g（x）_max＜1-a求得a范围即可．
解答：解：f（x）=lg ＜（x-2）lgm=lgm^x-2，
∴＜m^x-2．
∴1-a＞（ ）^x+（ ）^x+…+（ ）^x=g（x）．
∵，，…，∈（0，1），
∴g（x）在[1，+∞）上单调递减．
∴g（x）_max=f（1）=++…+=．
由题意知，1-a＞，
∴a＜．
故答案为：．
点评：本题给出对数型函数，求一个不等式在区间上恒成立的参数a的取值范围，着重考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了学生对基本初等函数的掌握，属于中档题．