分析 (1)由直径性质得AC⊥BC,由线面垂直得PA⊥BC,从而BC⊥面PAC,由此能证明平面PAC⊥平面PBC.
(2)①以A为原点,平面ABC中过A平行于BC的直线为x轴,AC为y轴,AF为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AC与PB所成角的正切值.
②求出$\overrightarrow{AC}$和平面PBC的法向量,利用向量法能求出直线AC与平面PCB所成角的余弦值.
解答 (1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC,
又PA垂直于⊙O所在的平面,∴PA⊥BC,
∴BC⊥面PAC,又PC?面PAC,
∴BC⊥PC,∵面PAC∩面PBC=PC,BC?面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.
(2)①解:以A为原点,平面ABC中过A平行于BC的直线为x轴,AC为y轴,AF为z轴,建立空间直角坐标系,
由已知PA=4,AB=6,∠ABC=30°,
得A(0,0,0),C(0,3,0),P(0,0,4),B(3$\sqrt{3}$,3,0),
$\overrightarrow{AC}$=(0,3,0),$\overrightarrow{PB}$=(3$\sqrt{3}$,3,-4),
设AC与PB所成角为θ,
则cosθ=|cos<$\overrightarrow{AC},\overrightarrow{PB}$>|=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PB}|}$|=|$\frac{9}{3\sqrt{52}}$|=$\frac{3}{2\sqrt{13}}$,
∴tanθ=$\frac{\sqrt{43}}{3}$.
∴AC与PB所成角的正切值为$\frac{4\sqrt{3}}{9}$.
②$\overrightarrow{AC}$=(0,3,0),$\overrightarrow{PB}$=(3$\sqrt{3}$,3,-4),$\overrightarrow{PC}=(0,3,-4)$,
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=3\sqrt{3}x+3y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=3y-4z=0}\end{array}\right.$,
取y=4,得$\overrightarrow{n}$=(0,4,3),
cos<$\overrightarrow{AC},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{3×5}$=$\frac{4}{5}$,
设直线AC与平面PCB所成角为θ,
则cosθ=sin<$\overrightarrow{AC},\overrightarrow{n}$>=$\sqrt{1-(\frac{4}{5})^{2}}$=$\frac{3}{5}$,
∴直线AC与平面PCB所成角的余弦值为$\frac{3}{5}$.
点评 本题考查面面垂直的证明,考查线线角的正切值和线面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $(\frac{5}{4},+∞)$ | B. | $(-∞,\frac{5}{4})$ | C. | $(\frac{5}{4},\frac{3}{2}]$ | D. | $(\frac{5}{4},\frac{3}{2})$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{4}$ | B. | -$\frac{1}{4}$ | C. | 1 | D. | -1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,-2)∪(0,2) | B. | (-∞,-2)∪(2,+∞) | C. | (-2,0)∪(0,2) | D. | (-2,0)∪(2,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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