精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
18.AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若PA=4,AB=6,∠ABC=30°.
①求AC与PB所成角的正切值;
②求直线AC与平面PCB所成角的余弦值.

分析 (1)由直径性质得AC⊥BC,由线面垂直得PA⊥BC,从而BC⊥面PAC,由此能证明平面PAC⊥平面PBC.
(2)①以A为原点,平面ABC中过A平行于BC的直线为x轴,AC为y轴,AF为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AC与PB所成角的正切值.
②求出$\overrightarrow{AC}$和平面PBC的法向量,利用向量法能求出直线AC与平面PCB所成角的余弦值.

解答 (1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC,
又PA垂直于⊙O所在的平面,∴PA⊥BC,
∴BC⊥面PAC,又PC?面PAC,
∴BC⊥PC,∵面PAC∩面PBC=PC,BC?面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.
(2)①解:以A为原点,平面ABC中过A平行于BC的直线为x轴,AC为y轴,AF为z轴,建立空间直角坐标系,
由已知PA=4,AB=6,∠ABC=30°,
得A(0,0,0),C(0,3,0),P(0,0,4),B(3$\sqrt{3}$,3,0),
$\overrightarrow{AC}$=(0,3,0),$\overrightarrow{PB}$=(3$\sqrt{3}$,3,-4),
设AC与PB所成角为θ,
则cosθ=|cos<$\overrightarrow{AC},\overrightarrow{PB}$>|=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PB}|}$|=|$\frac{9}{3\sqrt{52}}$|=$\frac{3}{2\sqrt{13}}$,
∴tanθ=$\frac{\sqrt{43}}{3}$.
∴AC与PB所成角的正切值为$\frac{4\sqrt{3}}{9}$.
②$\overrightarrow{AC}$=(0,3,0),$\overrightarrow{PB}$=(3$\sqrt{3}$,3,-4),$\overrightarrow{PC}=(0,3,-4)$,
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=3\sqrt{3}x+3y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=3y-4z=0}\end{array}\right.$,
取y=4,得$\overrightarrow{n}$=(0,4,3),
cos<$\overrightarrow{AC},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{3×5}$=$\frac{4}{5}$,
设直线AC与平面PCB所成角为θ,
则cosθ=sin<$\overrightarrow{AC},\overrightarrow{n}$>=$\sqrt{1-(\frac{4}{5})^{2}}$=$\frac{3}{5}$,
∴直线AC与平面PCB所成角的余弦值为$\frac{3}{5}$.

点评 本题考查面面垂直的证明,考查线线角的正切值和线面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要注意向量法的合理运用.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.函数$f(x)=\sqrt{{{log}_{\frac{1}{3}}}(4x-5)}$的定义域为(  )
A.$(\frac{5}{4},+∞)$B.$(-∞,\frac{5}{4})$C.$(\frac{5}{4},\frac{3}{2}]$D.$(\frac{5}{4},\frac{3}{2})$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.已知集合M={0,1},集合N={x|x2+x=0},则集合M∩N=(  )
A.0B.C.{0}D.{-1,0,1}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

6.设方程3-x=|lgx|的两个根分别为x1,x2,则(  )
A.x1x2<0B.x1x2=1C.x1x2>1D.0<x1x2<1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

13.若点A(-2,m)在正比例函数y=-$\frac{1}{2}$x的图象上,则m的值是(  )
A.$\frac{1}{4}$B.-$\frac{1}{4}$C.1D.-1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

3.已知ABCD-A1B1C1D1是一个棱长为1的正方体,O1是底面A1B1C1D1的中心,M是棱BB1上的点,且S△DBM:S${\;}_{△{O}_{1}{B}_{1}M}$=2:3,则四面体O1ADM的体积为$\frac{1}{16}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

10.f(x)=$\left\{{\begin{array}{l}{2-3x,(-2≤x≤1)}\\{{{(x-2)}^2},(1≤x<5)}\end{array}}$的值域为[-1,9).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

7.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,则不等式$\frac{f(x)+2f(-x)}{x}$<0的解集为(  )
A.(-∞,-2)∪(0,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-2,0)∪(2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则当CQ∈(0,$\frac{1}{2}$]∪{1}时,S为四边形;当CQ=$\frac{1}{2}$时S为等腰梯形;当CQ=1时,S的面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$.

查看答案和解析>>

同步练习册答案