Question

【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,一个顶点,且右焦点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程.

（2）若点为椭圆的下顶点，是否存在斜率为,且过定点的直线，使与椭圆交于不同两点,且满足? 若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在直线满足题意，直线的方程为或

【解析】

（1）由椭圆的一个顶点,求得的值，由右焦点到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求得的值，从而可得，进而可得结果；（2）直线的方程，带入椭圆方程得，利用韦达定理求出的中点的坐标为，结合斜率公式将问题转化为解方程即可.

（1）设椭圆的方程为：，由已知得，设右焦点为，

由题意的，∴或（舍去），∴，

∴椭圆的方程为：；

（2）直线的方程，带入椭圆方程得，

由得，设，则，设的中点为，则点的坐标为，∵，

∴点在线段的中点上，，化简得：，

∵，∴，所以，存在直线满足题意，直线的方程为或