Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为

2

2

，椭圆与x轴左交点与点F的距离为

2

-1．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积为

2

2

时，求|AB|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率，椭圆与x轴左交点与点F的距离为

2

-1求出椭圆的几何量，即可求椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆的方程，通过三角形的面积，利用点到直线的距离，求出|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得

c

a

=

2

2

，a-c=

2

-1，
又a²-b²=c²，解得b²=1，a²=2，
所以椭圆方程为

x2

2

+y2=1…（6分）
（Ⅱ）根据题意可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由方程组

y=kx+2 x2 2 +y2=1

消去y得关于x的方程（1+2k²）x²+8kx+6=0，…（8分）
由直线l与椭圆相交于A，B两点，则有△＞0，即64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，
得：k2＞

3

2

，由根与系数的关系得

x1+x2=- 8k 1+2k2 x1•x2= 6 1+2k2

，
故|AB|=|x1•x2|•

1+k2

=

16k2-24

1+2k2

1+k2

，…（10分）
又因为原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

，
故△OAB的面积S=

1

2

|AB|•d=

16k2-24

1+2k2

=

2 2 × 2k2-3

1+2k2

，…（12分）
由

2 2 × 2k2-3

1+2k2

=

2

2

，得k=±

14

2

，
此时|AB|=

3

2

．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的关系的综合应用，三角形的面积的求法，考查分析问题解决问题的能力．