Question

给出下列命题：
①存在实数x，使得sinx+cosx=

3

2

；
②若α，β为第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
③函数y=sin(

π

3

-

2x

5

)是最小正周期为5π；
④函数y=cos(

2x

3

+

7π

2

)是奇函数；
⑤函数y=sin2x的图象向左平移

π

4

个单位，得到y=sin(2x+

π

4

)的图象．
其中正确命题的序号是

③④

．（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析：分析sinx+cosx的最值，可以判断①的真假；
举出两个均在第一象限，但终边重合不相等的角，可以用特值法排除②；
根据正余弦函数最小正周期的求法，求出函数的最小正周期，可以判断③的真假；
利用诱导公式对函数的解析式进行化简，结合正弦型函数的奇偶性可判断④的真假；
根据三角函数的平移变换法则，求出平移后函数的解析式可判断⑤的真假；

解答：解：sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，其最大值

2

＜

3

2

，故①错误；
令α=390°，β=30°均为第一象限角，且α＞β，则tanα=tanβ，故②错误；
函数y=sin(

π

3

-

2x

5

)是最小正周期为T=

2π

2 5

=5π，故③正确；
函数y=cos(

2x

3

+

7π

2

)=sin

2x

3

是奇函数，故④正确；
函数y=sin2x的图象向左平移

π

4

个单位，得到y=sin2(x+

π

4

)=sin(2x+

π

2

)的图象，故⑤错误；
故答案为：③④

点评：本题是三角函数的综合应用，综合的考查了三角函数的值域（最值）、单调性、周期性、奇偶性及函数图象的平移，熟练掌握这些基础的知识点是解答本题的关键．