【题目】已知点A(1,2),过点P(5,﹣2)的直线与抛物线y2=4x相交于B,C两点,则△ABC是( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
【答案】A
【解析】解:当BC斜率不存在时,方程为x=5, 代入抛物线方程y2=4x得
B ,C
所以AB斜率是 ,
AC斜率是
所以kABkAC=﹣1,
所以AB与AC垂直,
所以三角形ABC是直角三角形当BC斜率存在时,显然不能为0,否则与抛物线只有一个公共点,
所以设方程为x﹣5=a(y+2)(a是斜率的倒数),
代入抛物线方程化简得y2﹣4ay﹣8a﹣20=0 设B(x1 , y1),C(x2 , y2),
则y1+y2=4a,y1y2=﹣8a﹣20 x1+x2=(ay1+2a+5)+(ay2+2a+5)=a(y1+y2)+4a+10=4a2+4a+10 x1x2=(ay1+2a+5)(ay2+2a+5)=4a2+20a+25
因为(y1﹣2)(y2﹣2)=y1y2﹣2(y1+y2)+4=﹣16a﹣16 (x1﹣1)(x2﹣1)=x1x2﹣(x1+x2)+1=16a+16 所以AB和AC斜率乘积等于﹣1,
即AB垂直于AC.综上可知,三角形ABC是直角三角形
故选A.
先讨论直线BC斜率不存在时,求出B,C的坐标,求出AB、AC斜率,求出kABkAC=﹣1,得到三角形ABC是直角三角形,当BC斜率存在时设出其方程,联立BC的方程与抛物线的方程,利用韦达定理,表示出AB、AC斜率,求出kABkAC=﹣1,得到三角形ABC是直角三角形.
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【题目】函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由函数的解析式 ,当时,是函数的一个零点,属于排除A,B,
当x∈(0,1)时,cosx>0,,函数f(x) <0,函数的图象在x轴下方,排除D.
本题选择C选项.
点睛:函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.
【题型】单选题
【结束】
12
【题目】设,则的最小值是( )
A. B. C. D.
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【题目】北京某附属中学为了改善学生的住宿条件,决定在学校附近修建学生宿舍,学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高万元,已知建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为万元.
若学生宿舍建筑为x层楼时,该楼房综合费用为y万元,综合费用是建筑费用与购地费用之和,写出的表达式;
为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼层建成几层?此时平均综合费用为每平方米多少万元?
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【题目】北京某附属中学为了改善学生的住宿条件,决定在学校附近修建学生宿舍,学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元,已知建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为0.8万元.
(1)若学生宿舍建筑为层楼时,该楼房综合费用为万元,综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出的表达式;
(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼层建成几层?此时平均综合费用为每平方米多少万元?
【答案】(1);(2)学校应把楼层建成层,此时平均综合费用为每平方米万元
【解析】
由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元,得到第层楼房建筑费用,由楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高万元,然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用;
设楼房每平方米的平均综合费用为,则,然后利用基本不等式求最值.
解:由建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为万元,
且楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高万元,
可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为:万元.
建筑第1层楼房建筑费用为:万元.
楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高:万元.
建筑第x层楼时,该楼房综合费用为:.
;
设该楼房每平方米的平均综合费用为,
则:,
当且仅当,即时,上式等号成立.
学校应把楼层建成10层,此时平均综合费用为每平方米万元.
【点睛】
本题考查简单的数学建模思想方法,训练了等差数列前n项和的求法,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】已知.
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程;
(2)若,求的值域.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且(2a﹣c)cosB=bcosC. (Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若a=2,c=3,求sinC的值.
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