【题目】已知函数
.
（1）求
在
上的最小值
；
（2）若存在两个不同的实数
，使得
，求证：
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）对
进行求导，得到其单调性，在
上单调递减，在
上单调递增，对导函数的零点与所给区间
的关系进行讨论，即分为
，
和
三种情形，根据单调性求得最值；（2）令
，易得当
时，
，设
，
，故
，根据单调性得证.
试题解析：（1）根据题意，得
，当
时，
；当
时
.
故
在上单调递减，在上单调递增.
当，即
时，
在上单调递减，
；
当，即
时，
；
当时，
在上单调递增，
.
所以.
（2）构造函数
，
则
.
因为
，所以
，函数
单调递增，
所以
，
所以在区间
上
，所以在区间上
单调递增，
所以
，所以当时，.
根据（1）中
的性质，若存在两个不同的实数
，使得
，不妨设，则一定有，，当
时，
，
所以，
因为
在上单调递增，所以
，
.
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
南大教辅抢先起跑暑假衔接教程南京大学出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】若对于定义在
上的连续函数
，存在常数
（
），使得
对任意的实数
成立，则称
是回旋函数，且阶数为
.
（1）试判断函数
是否是一个阶数为1的回旋函数，并说明理由；
（2）已知
是回旋函数，求实数
的值；
（3）若回旋函数
（
）在
恰有100个零点，求实数
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
（单位：千元）对年利润
（单位：万元）的影响，对近5年的宣传费
和年利润
（
）进行了统计，列出了下表：
| 2 | 4 | 7 | 17 | 30 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
员工小王和小李分别提供了不同的方案．
（1）小王准备用线性回归模型拟合
与
的关系，请你帮助建立
关于
的线性回归方程；（系数精确到0.01）
（2）小李决定选择对数回归模型拟合
与
的关系，得到了回归方程：
，并提供了相关指数
．请用相关指数说明选择哪个模型更合适，并预测年宣传费为4万元的年利润．（精确到0.01）（小王也提供了他的分析分析数据
）
参考公式：相关指数
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．参考数据：
，
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EBD；
（Ⅱ）求二面角EBDP的余弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某工厂每日生产某种产品
吨，当日生产的产品当日销售完毕，产品价格随产品产量而变化，当
时，每日的销售额
（单位：万元）与当日的产量
满足
，当日产量超过
吨时，销售额只能保持日产量
吨时的状况.已知日产量为
吨时销售额为
万元，日产量为
吨时销售额为
万元.
（1）把每日销售额
表示为日产量
的函数；
（2）若每日的生产成本
（单位：万元），当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值.（注：计算时取
）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】下列4个命题：
①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；
②四边形
为长方形，
，
，
为
中点，在长方形内随机取一点
，取得的点到的距离大于1的概率为
；
③把函数
的图象向右平移
个单位，可得到
的图象；
④已知回归直线的斜率的估计值为
，样本点的中心为
，则回归直线方程为
.
其中正确的命题有__________．(填上所有正确命题的编号)
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