Question

（2006•蚌埠二模）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中点，H为平面EDB
内一点，

HC1

=（2m，-2m，-m）（m＜0）．
（1）证明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁与平面EDB所成的角；
（3）若正方体的棱长为a，求三棱锥A-EDB的体积．

Answer 1

分析：（1）要证明HC₁⊥平面EDB即可利用线面垂直的判定定理即证明

HC1

⊥

DE

 ， 

HC1

⊥

DB

故需建立空间直角坐标系求出相应点的坐标然后利用向量的数量积进行计算即可．
（2）要求BC₁与平面EDB所成的角可先求出BC₁与平面EDB的法向量所成的角θ然后利用直线与平面所成的角与直线与其法向量所成的角的关系即可得解而由第一问可得

HC1

即为平面EDB的法向量．
（3）要求三棱锥A-EDB的体积可轮换其顶点即求三棱锥E-ADB的体积．

解答：证明：（1）设正方体的棱长为a，则

DE

={ 

a

2

 ， 0 ， a }，

DB

={ a ， a ， 0 }
∵

HC1

•

DE

=0 ， 

HC1

•

DB

=0
∴

HC1

⊥

DE

 ， 

HC1

⊥

DB

又∵DE∩DB=D
∴HC₁⊥平面EDB．
（2）

BC1

={ -a ，0 ， a }，设

BC1

与

HC1

所成的角为θ
∵cosθ=

BC1 • HC1

|  BC1 | • |  HC1 |

=

2ma+ma

2 a • 3m

=

2

2

∴θ=45°．
由（1）知HC₁⊥平面EDB
∴∠C₁BH为BC₁与平面EDB所成的角
∴∠C₁BH=90°-45°=45°
（3）VA-EDB=VE-ABD=

1

3

•

1

2

a2•a=

1

6

a3．

点评：本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直以及求直线与平面所成的角并且附带考查求三棱锥的体积．解题的关键是首先依据所给图形建立空间直角坐标系然后对于第一问只需利用向量的数量积证明出

HC1

•

DE

=0 ， 

HC1

•

DB

=0即可说明HC₁⊥平面EDB而对于第二问可根据线面角向量的求法可先求根据向量的夹角公式求出

BC1

与

HC1

（由第一问可得

HC1

即为平面EDB的法向量）所成的角为θ然后根据cosθ＞0则BC₁与平面EDB所成的角为90°-θ，若cosθ＜0则BC₁与平面EDB所成的角θ-90°．第三问可根据轮换三棱锥的顶点其体积不变可对要求三棱锥A-EDB的体积即求三棱锥E-ADB的体积．