Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x），满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＜0．且f（3）=﹣4．
（1）求f（0）的值；
（2）判断并证明函数f（x）在R上的奇偶性；
（3）在区间[﹣9，9]上，求f（x）的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
（2）解：令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x），

即对于定义域内的任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）是奇函数．

（3）解：任取实数x1、x2∈[﹣9，9]且x1＜x2，这时，x2﹣x1＞0，

f（x1）﹣f（x2）=f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣f（x1）=﹣f（x2﹣x1），

∵x＞0时f（x）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x）在[﹣9，9]上是减函数．

故f（x）的最大值为f（﹣9），最小值为f（9）．

而f（9）=f（3+3+3）=3f（3）=﹣12，f（﹣9）=﹣f（9）=12．

∴f（x）在区间[﹣9，9]上的最大值为12，最小值为﹣12

【解析】（1）令x=y=0，可得f（0）=0．（2）令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x），即可得出奇偶性．（3）任取实数x1、x2∈[﹣9，9]且x1＜x2 ， 可得f（x1）﹣f（x2）=f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）=﹣f（x2﹣x1），利用x＞0时，f（x）＜0，即可得出单调性，进而得出最值．