Question

设p：方程

x2

1-2m

+

y2

m+2

=1表示双曲线，q：函数g（x）=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在R上既有极大值又有极小值．求使p∧q为真命题的实数m的范围．

Answer 1

分析：根据双曲线的概念求出p为真命题的m取值范围；再由导数研究函数的单调性，算出当q为真命题的m取值范围．因为p∧q为真命题，所以求两种情况下m范围的交集，即可得到实数m的范围．

解答：解：若p为真命题，则（1-2m）（m+2）＜0，解之得m＜-2或m＞

1

2

若q为真命题，则g'（x）=3x2+2mx+m+

4

3

在R上既有正值又有负值
即△=4m²-12（m+

4

3

）＞0，解之得m＜-1或m＞4
∵p∧q为真命题
∴p、q均为真命题，可得m＜-2或m＞4
综上所述，可得实数m的范围是（-∞，-2）∪（4，+∞）

点评：本题通过命题真假的判断为载体，考查了双曲线的基本概念和利用导数研究函数的单调性与极值等知识点，属于中档题．